1. длина гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника равна 12 см. найдите площадь круга, огранич. окружностью, вписанной в этот треугольник. 2. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 15 см, 24 см, 15 см. найдите длину этой окружности и площадь круга надо, завтра сдавать

1)r = 12/2 = 6

sкруга = πr² = π · 6² = 36π

2)треуг авс, вн-высота и медиана треугольника. ав=вс=15 см, ас=24 см

рассм. треугольник авн-прямоугольный. ан=0.5*ас=12 см, ав=15 см. по т. пифагора вн=9 см

площадь авс= 0.5*9*24=108 см2,далее воспользуемся формулой s=p*r, где s-площадь треугольника авс, р-полупериметр, р=(15+15+24)/2=27 см, r-радиус вписанной окружности

r=s/p=108/27=4 см

раз прямоугольный, да еще и равнобедренный, то два катета равны по х см, а гипотенуза 12см. тогда по теореме   пифагора 2х²=12², или х²=12*6, откуда х=√72=6√2/см/

площадь треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. (1/2)*6√2*6√2=36/см²/, но с другой стороны, эта же площадь находится как произведение полупериметра треугольника на радиус окружности, вписанной в этот треугольник, т.е. полупериметр, равный (12+2*6√2)/2=6+6√2 надо умножить на искомый радиус и получим 36.

откуда радиус равен 36/(6+6√2)=36/(6*(1+√2))=6/(1+√2)=6(√2-1), а площадь круга равна пи   эр в квадрате. то есть пи*(6(√2-1)²)=36*(3-2*√2)

ответ. 36(3-2√2)

2.радиус   окружности ищем по формуле площадь треугольника деленная на полупериметр.

площадь треугольника найдем по формуле герона.

полупериметр треугольника р=

(15+15+24=)/2=27

27-15=12; 27-15=12;   27-24=3; значит, площадь равна корню квадратному из произведения, равного   12*12*3*27;     12*9=108, площадь 12*9/27=4, деленная на полупериметр - это радиус. значит, радиус равен 4 см. тогда длина окружности равна два пи эр, т.е. 8 пи, а площадь круга пи эр в квадрате, т.е. 16 пи.

s = p*r = 25,5 * 4 = 102

(p - полупериметр)

эту формулу можно доказать, разбив многоугольник на тр-ки со стороной - ст. мн-ка и 3ей вершиной в центре окр. сторона мн-ка явл-ся касат. к окр., зн, высота тр-ка к этой стороне проходит через т. кас. с окр. высота равна радиусу и полщадь тр-ка равна половине произв. стороны (кот. явл-ся ст. мн-ка) на высоту-радиус.

сумма площадей тр-ков равна произв. полусуммы длин сторон на радиус. 

то есть произв. полупериметра на радиус впис. окр.