Решите все 73 1. в параллелограмме klmn биссектриса угла lkn пересекает отрезок lm в его середине ∠lnm=90∘ найдите угол lkn. 2. на сторонах bc и cd ромба abcd взяты точки m и n соответственно, отличные от точек a, b, c и d. оказалось, что треугольник amn равносторонний, и при этом ∠abc=∠and. найдите угол bcd. 3. в равнобедренном треугольнике abc с основанием ab проведены биссектрисы ae и cd. известно, что 2⋅cd=ae. найдите угол bac.

1)треугольники alk=amn ( по 3 сторонам ak=an ( в равнобедренном треугольнике),al=am ( а- середина стороны), lm=mn ( противоположные стороны в параллелограмме это значит, что углы kla=nma, но в  параллелограмме противоположные углы также равны, значит  kla=nma=lkn=mnk. в параллелограмме сумма углов равна 360 градусов. из этого следует, что 360/4=90.

значит  kla=nma=lkn=mnk=90 градусам, значит наш  параллелограмм - прямоугольник.

2)

так как ромб - это симметричная фигура

следует, что относительно диагоналей ac и вd происходит симметрия =>

∆ abc = ∆ авсd

из первого пункта было сказано, что epkt является прямоугольником

значит, прямоугольник epkt симметрично накладывается на четырёхугольник meth, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. а значит, весь четырехугольник мрkh является прямоугольником.

для точности докажем, что точки р и м, к и н симметричны относительно диагонали ас

∆ аре = ∆ аем - по катету и острому углу ( угол вас = угол саd - по свойству ромба ; ае - общая сторона )

значит, ав=сд

По теореме косинусов.

x²=7²+5²-2×5×7×cos135°