Красивая : даны две окружности, которые пересекаются в точках m и n. прямая m проходит по касательной в точках a и b этих окружностей. прямая mn пересекает ab в точке к. а) докажите, что точка персечений медиан треугольника авм лежит на прямой mn. б) найдите ак, если известно, что расстояние между
центрами окружностей равно 17, а радиусы равны 20 и 5.​

Если соединить центры этих окружностей с основанием высоты, то эти отрезки будут биссектрисами прямых углов, которые высота образует с гипотенузой. поэтому они перпендикулярны. поскольку при этом длины касательных от основания высоты к обеим окружностям равны радиусам, то расстояния от него до центров равны величине диагонали квадрата со стороной r1 и r2. искомое расстояние (в квадрате)  отсюда равно (√2*r1)^2 + ( √2*r2)^2 = 2*(r1^2 + r2^2); для треугольника с катетом 1 и углом в 30° стороны равны 1,  √3 и 2.  отсюда r = (1 +  √3 - 2)/2 = (√3 - 1)/2; это радиус окружности, вписанной в авс. коэффициенты подобия для треугольников равны 1/2 и  √3/2 (у одно из треугольников меньший катет - это высота авс, равная  √3/2, а у другого эта высота - больший катет, откуда меньший равен 1/2). поэтому r1 = r/2; r2 = r√3/2; легко видеть, что искомое расстояние d =  √2*r (треугольник, образованный отрезками соединяющими центры с основанием высоты и между собой, оказался тоже подобный исходному, то есть в нем гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, равного  √2*r1 =  √2*r/2; ответ d = √2*(√3 - 1)/2