Можно ли расставить все натуральные числа от 1 до 1000 по кругу так, что бы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом?

нельзя.

сумма трех натуральных чисел не меньше трёх, чтобы она была простым числом, она должна быть как минимум нечетной - все простые числа, большие двух, нечетные.

рассмотрим суммы  соседних троек: a + b + c, b + c + d. так как обе суммы нечётны, то a и d должны быть одинаковой чётности (дальше я это буду записывать в виде a = d). значит, все числа, между которыми стоят два каких-то числа, должны быть одинаковой чётности.

1-е число = 4-е = 7-е = = 100-е = 3-е = 6-е = 9-е = = 99-е = 2-е = 5-е = 8-е = = 98-е = 1-е (например, между 100-м и 3-м числами стоят два числа: первое и второе).

итак, получилось, что все сто чисел должны быть одинаковой чётности. для последовательных натуральных чисел от 1 до 100 это, разумеется, неверно, поэтому их расставить по кругу так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была простым числом, не получится.