Площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см

в прямоугольнике abcd проведена биссектриса угла a до пересечения со стороной bc в точке k. отрезок ak=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. найдите стороны и площадь прямоугольника abcd.

обозначим точку пересечения диагоналей о. 

диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 

∆аов и ∆cod - равнобедренные, углы при ав и cd равны по (180°-30°): 2=75°⇒ 

в ∆ авс  ∠bсa=90°-75°=15°

∆ авк - прямоугольный с острым углом вак=45°⇒

∠вка=45° ⇒ ∆ авк равнобедренный. 

ав=ак*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см

в ∆ авс по т.синусов

ав: sin15°=bc: sin75°

по таблице синусов

sin 15° =0,2588

sin75°=0,9659 

4√2: 0,2588=вс: 0,9659⇒ 

вс=21,1127 см

s=ab•вс=4√2•21,1127≈ 119,426 см²

как вариант:

найти из прямоугольного ∆ авс диагональ ас:

ас=ав: sin 15º=(4√2): 0,2588

площадь выпуклого четырехугольника  равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 

s=0,5•d₁•d₂•sinφ , где 

  d₁    и  d₂  –  диагонали,  φ    – любой из четырёх углов между ними/

тогда s=0,5•{4√2): 0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²