Решите уравнение 20 5(1-sin2x)-16(sinx-cosx)+3=0

некоторые простые действия пропускал

условие=5(1-2sinxcosx)-16sinx+16cosx+3=0

-10sinxcosx-16sinx+16cosx=-8

воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой

-10*2t/1+t^2 *1-t^2/1+t^2 -16*2t/1+t^2 +16*1-t^2/1+t^2=-8

решим уравнение относительно t

t=1/2

t=-3

сделаем обратную подстановку

tanx/2=-3

tanx/2=1/2

x=-2arctan3+2pin,n принадлежитz

x=2arctan1/2+pin,nпринадлежитz

поскольку универсальная замена переменной может быть использована только если xнеравенpi+2pin,nпринадлежитz,то необходимо проверять является ли x=pi+2pin,nпринадлежитz также проверять решением уравнения

окончательное решение

x=система -2arctan3+2pin

                                                nпринадлежитz

                  2arctan1/2+2pin

5(sin²x+cos²x-2sinxcosx)-16(sinx-cosx)+3=0

5(sinx-cosx)²-16(sinx-cosx)+3=0

sinx-cosx=t

5t²-16t+3=0, d1=8²-15=64-15=49

t1=(8+7)/5=3,t2=1/5.

1)sinx-cosx=3--не имеет корней

2) sinx -cosx=1/5

√2(1/√2·sinx-1/√2·cosx)=1/5

√2(sinx·cosπ/4-cosx·sinπ/4)=1/5

√2sin(x-π/4)=1/5

sin(x-π/4)=1/(5√2)⇒sin(x-π/4)=√2/10

x-π/4=(-1)^n arcsin√2/10 +πn,n∈z

x=(-1)^n   arcsin√2/10+π/4+πn,n∈z

Вот график на картинке.