Даны координаты вершин пирамиды: а=(2 3 2) в=( 3 0 2) с=(-2 2 3) d=(1 1 -2) найдите: а) угол между ребрами аd и гранью авс; б) расстояние от вершины а до прямой вс; в) уравнение высоты пирамиды,опущенной из вершины d; г) длину высоты пирамиды dh.

даны координаты вершин пирамиды:  

а(2; 3; 2), в( 3; 0: 2), с(-2; 2; , d(1; 1; -2).

а) угол между ребром аd и гранью авс.

вектор   аd(-1; -2; -4).

находим уравнение плоскости грани авс по координатам вершин.

для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xa y - ya z - za

xb - xa yb - ya zb - za

xc - xa yc - ya zc - za

  = 0

подставим данные и выражение:

х - 2         y - 3         z - 2

3 - 2 0 - 3 2 - 2

(-2) - 2 2 - 3 3 - 2

  = 0

x - 2       y - 3       z - 2

1         -3           0

-4             -1       1

  = 0

(x - 2)   -3·1-0·(-1)   -   (y - 3)   1·1-0·(-4)   +   (z - 2)   1·(-)·(-4)   = 0

(-3) x - 2   + (-1) y - 3   + (-13) z - 2   = 0

  - 3x - y - 13z + 35 = 0.

угол между прямой   (x - 2)/(-1)   =   (y - 3)/(-2)   = (z - 2)/(-4)   и плоскостью

- 3x - y - 13z + 35 = 0

направляющий вектор прямой имеет вид: s =   (-1; -2; -4).  

вектор нормали плоскости имеет вид: q =   (-3; -1; -13).

вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| =   | s · q | | s |·| q |   =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | √(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)   =

=   | (-3) · (-1) + (-1) · (-2) + (-13) · (-4) | √)² + (-1)² + (-13)²) · √)² + (-2)² + (-4)²) =   | 3 + 2 + 52 |/(√(9 + 1 + 169) · √(1 + 4 + 16))   =     57/(√179 · √2)   =

=   57 /√3759   =   19√3759 1253   ≈ 0.929691.

φ = 68.38672°.

б) расстояние от вершины а до прямой вс.

s =   -5; 2; 1     - направляющий вектор прямой вс;

а =   3; 0; 2     - точка лежащая на прямой.

уравнение вс: (x - 3)/(-5) = (y - 0)/2 = (z - 2)/1

аb = {ax - bx; ay - by; az - bz} =   (3 - 2; 0 - 3; 2 - 2)   = (1; -3; 0),  

площадь параллелограмма лежащего на двух векторах ab и s:

s = |ab × s|

ab × s =  

i j k

1 -3 0

-5 2 1

  =

= i   -3·1 - 0·2   - j   1·1 - 0·(-5)   + k   1·2 - (-3)·(-5)   =

= i   -3 - 0   - j   1 - 0   + k   2 - 15   =

=   -3; -1; -13.

зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d =   |ab×s|/ |s|   =   √)² + (-1)² + (-13)²)/√)² + 2² + 1²)   =   √179 /√30   =     =   √5370/30   ≈ 2.44267.

в) уравнение высоты пирамиды,опущенной из вершины d.

общее уравнение прямой :

(x - xo)/m = (y - yo)/n = (z - zo)/l

xo, yo, zo - координаты какой-либо точки перпендикуляра, например d(1; 0; -2)

m, n, l - координаты направляющей искомой прямой (в данном случае координаты нашей нормали): q =   (-3; -1; -13).

получаем (x -1)/(-3) = (y -0)/(-1) = (z + 2)/(-13).

г) длина высоты пирамиды dh.

для вычисления расстояния от точки m(mx; my; mz) до плоскости ax + by + cz + d = 0

используем формулу: d =   |a·mx + b·my + c·mz + d| /√(a² + b² + c²).  

подставим в формулу данные:

d =   |-3·1 + (-1)·1 + (-13)·(-2) + 35|/√)² + (-1)² + (-13)²)   =   |-3 - 1 + 26 + 35|/ √(9 + 1 + 169)   =     57 /√179   =   57√179/ 179   ≈ 4.26038.