Решите неравенство $log \frac{1}{6} (10 - x) + log \frac{1}{6}(x - 3) \geqslant - 1$

127

469

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

нася12342

Алгебра

4,5(80 оценок)

найдём одз логарифмов:

$\tt\displaystyle\left\{{{10-x> 0}\atop{x-3> 0}}\right.~~~~~~~~~~~~\left \{ {{x < 10} \atop {x > 3}} \right. \\\\\\x\in(3; 10)$

для начала преобразуем каждое из выражений левой части, но сначала кое-что обсудим: мы можем обойтись и без этого вполне. мы можем по свойству логарифмов преобразования суммы в произведение свести к логарифму по основанию 1/6. но при раскрытии логарифмов с обеих сторон мы в любом случае сменим знак (так как при раскрытии логарифмов применяется неравенство, что если основание логарифма меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный), как сделали это, логарифмы к целому, не дробному основанию.

$\tt\displaystyle log_{\displaystyle\frac{1}{6}}(10 - x)=log_{\displaystyle 6^{-1}}(10 - x)=-log_{\displaystyle6}(10 - x)\\\\\\log_{\displaystyle\frac{1}{6}}(x - 3)=log_{\displaystyle 6^{-1}}(x - 3)=-log_{\displaystyle6}(x - 3)\\\\\\$

затем сложим:

$\tt\displaystyle-log_{\displaystyle6}(10 - x) + (-log_{\displaystyle6}(x - 3))\implies\\\\\\-log_{\displaystyle6}(10 - x) - log_{\displaystyle6}(x - 3)\implies\\\\\\-log_{\displaystyle6}((10 - x)\cdot(x - 3))\implies\\\\\\-log_{\displaystyle6}(10x - 30 - x^{2} + 3x)\implies\\\\\\-log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)$

умножим обе части на -1:

$\tt\displaystyle log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 1\\\\\\log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 6^{1}\\\\\\-x^{2}+13x-30 - 6 \leq 0\\\\\\x^{2}-13x+36\geq 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^{2}-13x+36=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~d=b^{2}-4\cdot a\cdot c = 169 -4\cdot 1\cdot 36=25=5^{2}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}=\frac{13 \pm 5}{2}=9; ~4\\\\\\(x - 9)\cdot(x - 4)\geq 0\\\\\\x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)$

объединим одз логарифмов и решение:

$\tt\displaystyle x\in(3; 10)~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)\\\\\\x\in(3; 4]\cup[9; 10)$

lavika1

Алгебра

4,4(45 оценок)

A -10 -2,5 0 1,5 4 8,5 10a 55 10 -5 -14 -29 -56 -65

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Алгебра

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.