Данным координаты вершин треугольника abc. а(-5; 7); в(7; -2); с(11; 20)найти: 1) длину стороны ав; 2)уравнение стороны ав и вс и их угловые координаты; 3)угол в в радианах с точностью до двух знаков; 4)уравнение высоты сd и её длину; 5)уравнение медицины ае и координаты точки к пересечения этой медианы с высотой сd; 6)уравнение прямой, проходящей через точку к параллельно стороне ав; 7)координаты точки м,расположеной симметрично точке а относительно прямой сd

пошаговое объяснение:

1) расчет длин сторон:

ав = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √169 = 13,  

bc = √((хc-хв)²+(ус-ув)²) = √500 = 22.36067977,  

ac = √((хc-хa)²+(ус-уa)²) = √985 = 31.38470965.

2) уравнение сторон ав и вс и их угловые коэффициенты.

ха уа   хв ув     хс ус  

-5   -7       7 -2     11 20

ab: \frac{x+5}{)} = \frac{y+7}{-)}  

\frac{x+5}{12} = \frac{y+7}{5} .   это уравнение в каноническом виде. в общем виде оно будет таким:

ав: 5х - 12у - 59 = 0.

в виде уравнения с коэффициентом:

у = (5/12)х - (59/12), или   у = 0.416667х   - 4.9167.

угловой коэффициент равен:  

кав = (ув-уа) / ( хв-ха)=   5/12 = 0.416667.

аналогично находим уравнение стороны вс:

вс: 22х   - 4у   - 162 = 0

можно сократить на 2:

вс: 11х - 2у - 81 = 0.

в виде уравнения с коэффициентом:

у = (11/2)х - (81/2), или   у = 5.5х   - 40.5.

угловой коэффициент равен:

  квс = (ус-ув) / (хс-хв ) = 11/2 = 5,5.

3) угол ψ между прямыми ав и вс в радианах.

это угол в, его определяем по теореме косинусов:

cos в= (ав²+вс²-ас²) / (2*ав*вс) = -0.543537  

b = 2.145441 радиан   = 122.9247 градусов.

4) уравнение высоты сd и ее длина.

сd: (х-хс) / (ув-уа)   = (у-ус) / (ха-хв).

в каноническом виде:

cd: \frac{x-11}{5} = \frac{y-20}{-12}  

в общем виде cd:   -12x   - 5y + 232 = 0 или с положительным коэффициентом при х:

cd: 12x + 5y - 232 = 0.

длина высоты cd:

cd = 2s / ba .

находим площадь треугольника :

s =   (1/2)*|(хв-ха)*(ус--ха)*(ув-уа)| = 122.

тогда cd = 2*122 / 13 = 18.76923.

5) уравнение медианы ае и координаты точки к пересечения этой медианы с высотой сd .

находим координаты точки е как средней между точками в и с:

е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).

уравнение ае:   \frac{x+5}{14} = \frac{y+7}{16}   или в общем виде   16х - 14у - 18 = 0.

можно сократить на 2:

ае: 8х - 7у - 9 = 0.

координаты точки к пересечения   медианы ае с высотой сd находим решением системы уравнений этих прямых:

  8х - 7у - 9 = 0           40х - 35у - 45 = 0

12x + 5y - 232 = 0       84х + 35у - 1624 = 0

                                    124х           - 1669 = 0

                                          хк = 1669 / 124 = 13.45968.

                                          ук = (8х - 9) / 7 = 14.09677.

6) уравнение прямой l, которая проходит через точку к параллельно стороне ав.

у прямой l коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой ав).

подставляем координаты точки к:

14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.

отсюда находим "в":

в = 14.09677 - 0.416667*13.45968 = 8.488575.

получаем уравнение прямой l:

у = 0.416667х + 8.488575.

7) координаты точки f(x_f y_f), которая находится симметрично точке а относительно прямой сd.

так как прямая сd - это перпендикуляр к стороне ав, то точка d - центр симметрии.

координаты d(18.2189349; 2.6745562).

xf = 2*xd - xa = 2*18.2189349 - (-5) = 41.4378698,

yf = 2*yd - ya = 2*2.6745562 - (-7) = 12.349112.

Пошаговое объяснение: