Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений: (x^2)y' =(y^2)+4xy+2x^2

145

240

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

ЛАЙФСТААААААЙЛ

Математика

4,6(52 оценок)

данное дифференциальное уравнение является однородным. для однородных уравнений берут замену $y=ux$

$y=u'x+u$

$x^2(u'x+u)=u^2x^2+4ux^2+2x^2\\ u'x+u=u^2+4u+2\\ u'x=u^2+3u+2$

получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, тогда разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \int\frac{du}{u^2+3u+2}=\int\frac{dx}{x}~~\rightarrow~~\int\frac{du}{(u+1)(u+2)}=\int\frac{dx}{x}~~\rightarrow~~\\ \\ \\ \rightarrow~~ \int\frac{u+2-(u+1)}{(u+1)(u+2)}du=\int\frac{dx}{x}~~\rightarrow~~\int\bigg(\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u+2}\bigg)du=\int\frac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|u+1|-\ln|u+2|=\ln |x|+\ln c\\ \\ \ln \bigg|\frac{u+1}{u+2}\bigg|=\ln |cx|\\ \\ \frac{u+1}{u+2}=cx$

сделаем обратную замену, подставив u = y/x, получим:

$\displaystyle \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+2}=cx~~\rightarrow~~ \frac{y+x}{y+2x}=cx~~\rightarrow~~ \boxed{y=\dfrac{x(1-2cx)}{cx-1}}$

Елена5763

Математика

4,7(63 оценок)

Пошаговое объяснение:

Пусть прочитала х страниц.

50-х=17

х=50-17=33 страницы прочитала Нина.

На второй машине х т груза.

х=32-18=14т.

Пусть в автобусе было х человек.

х=8+37=45 чел.

4) Пусть Валя задумала число х.

х+21=90

х=90-21=69.

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Математика

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.