Регистрация Спросить otvet5GPT
kirillm3
24.04.2021 08:17
Алгебра
Есть ответ 👍

Решить дифференциальное уравнение второго порядка (1+x^2)y''+(y')^2+1=0

179
347
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

1111362
1111362
4,7(61 оценок)

понизим порядок заменой y'=u(x), тогда y''=u'(x), получим

(1+x^2)u'+u^2+1=0 - уравнение с разделяющимися переменными

\displaystyle \dfrac{du}{dx}=\dfrac{-1-u^2}{x^2+1}~~\rightarrow~~-\int\dfrac{du}{1+u^2}=\int\frac{dx}{1+x^2}~~\rightarrow~~ -{\rm arctg}\, u={\rm arctg}\, x+c_1

выполнив обратную замену u=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+c_1), получим

y'=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+c_1)\\ \\ y=\displaystyle \int -{\rm tg}({\rm arctg}\,x+c_1)dx

-{\rm tg}({\rm arctg}\,x+c_1)=-\dfrac{{\rm tg}({\rm arctg}\, x)+{\rm tg}\, c_1}{1-{\rm tg}({\rm arctg}\, x){\rm tg}\, c_1}=\dfrac{x+{\rm tg}\, c_1}{x{\rm tg}\, c_1-1}

тогда

y=\displaystyle \int\dfrac{x+{\rm tg}\, c_1}{x{\rm tg}\, c_1-1}dx=\int \bigg(\frac{({\rm tg}^2c_1+1){\rm ctg}\, c_1}{x{\rm tg}\, c_1-1}+{\rm ctg}\, c_1\bigg)dx=\\ \\ \\ =\left({\rm tg}\, c_1+{\rm ctg}\, c_1\right)\int\frac{dx}{x{\rm tg}\, c_1-1}+{\rm ctg}\, c_1\int dx=\\ \\ \\ =({\rm tg}\, c_1+{\rm ctg}\, c_1)\cdot {\rm ctg}c_1\ln|x{\rm tg}\, c_1-1|+x{\rm ctg}\, c_1+c_2=\\ \\ \\ =\boxed{({\rm ctg}^2c_1+1)\ln|x{\rm tg}\, c_1-1|+x{\rm ctg}\, c_1+c_2}

Zmei0907
Zmei0907
4,5(81 оценок)

(1+x^2)\cdot y''+(y')^2+1=0\; \; \; \to \; \; \; f(x,y',y'')=0\; \; \to \\\\u=y'(x)\; ,\; \; u'=y''\; ,\\\\(1+x^2)\cdot u'+u^2+1=0\; ,\; \; \frac{du}{dx}=-\frac{1+u^2}{1+x^2}\; ,\\\\\int \frac{du}{1+u^2}=-\int \frac{dx}{1+x^2}\\\\arctgu=-(arctgx+c_1)\; \; \rightarrow \; \; u=-tg(arctgx+c_1)\\\\u=-\frac{tg(arctgx)+tgc_1}{1-tg(arctgx)\cdot tgc_1}\; ,\; \; \; (\; tgc_1=const\; ,\; \; tgc_1=c\; )\\\\u=-\frac{x+c}{1-c\cdot x}\; \; \to \; \; y'(x)=-\frac{x+c}{1-c\cdot x}

\frac{dy}{dx}=-\frac{x+c}{1-c\cdot x}\\\\\int dy=-\int \frac{x+c}{1-c\cdot x}\, dx\; \; ,\; \; \int dy=\int \frac{x+c}{c\cdot x-1}\, dx\\\\y=\frac{1}{c}\cdot \int \frac{x+c}{x-\frac{1}{c}}\, dx=\frac{1}{c}\cdot \int \big (1+\frac{c+\frac{1}{c}}{x-\frac{1}{c}}\big )\, dx=\frac{1}{c}\cdot \int \big (1+\frac{c^2+1}{c}\cdot \frac{1}{x-\frac{1}{c}}\big )dx=\\\\=\frac{1}{c}\int dx+\frac{c^2+1}{c}\cdot \int \frac{dx}{x-\frac{1}{c}}=\frac{1}{c}\cdot x+\frac{c^2+1}{c}\cdot ln|x-\frac{1}{c}|+c_2\; ;

y=\frac{x}{c}+\frac{c^2+1}{c}\cdot ln|\frac{cx-1}{c}|+c_2

p.s.\; \; \int \frac{x+c}{cx-1}\, dx=\int \frac{cx-1+1+c^2}{cx-1}\, dx=\int (1+\frac{c^2+1}{cx-1})dx=\\\\=x+(c^2+1)\cdot \frac{1}{c}\, ln|cx-1|+c_2\; ; \\\\\underline {y=x+\frac{c^2+1}{c}\cdot ln|cx-1|+c_2\; ,\; \; c=tgc_1\; ,\; \frac{1}{c}=ctgc_1}

NastyTyan
NastyTyan
4,4(86 оценок)
4x-(1-2x)+(2x-7)=4х-1+2х+2х-7=8х-8

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

  • Быстро
    Мгновенный ответ на твой вопрос
  • Точно
    Бот обладает знаниями во всех сферах
  • Бесплатно
    Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Популярно: Алгебра

Caktus Image

Есть вопросы?

  • Как otvet5GPT работает?

    otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.

  • Сколько это стоит?

    Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.

  • Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

    Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!

  • В чем отличия от ChatGPT?

    otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.

Подпишись на наш телеграмм канал

GTP TOP NEWS