5. на доске написано число 1. за одну операцию к написанному числу можно либо прибавить 111, либо поменять местами две его соседние ненулевые цифры. можно ли за несколько таких операций получить число 2009?

ответ:

нет

пошаговое объяснение:

число 1 даёт остаток 1 при делении на 9(то есть 1≡1(mod

111≡3(mod 9)

значит, по свойствам сравнения чисел по модулю, при каждом прибавлении к числу числа 111 остаток от деления результата сложения на 9 по сравнению с исходным числом увеличится на 3.

операция обмена цифр местами не меняет сумму цифр числа. поэтому, так как сумма цифр числа s≡r(mod 9), где r - остаток от деления числа на 9, остаток при делении на 9 полученного числа и исходного не отличаются.

2009≡2(mod 9).

тогда составим уравнение:

1+n*3≡2(mod 9)[n - количество операций сложения]

n*3≡1(mod 9)

тогда получаем 3n=1+9k(k∈z)

число слева делится на 3, а число справа даёт остаток 1 при делении на 3(1≡1(mod 3) и 9k=3*3k≡0(mod противоречие. значит получить 2009 подобным способом нельзя

1) 5-2=3 (части) - составляют 360 грамм;

2) 360: 3=120 (грамм) - приходится на 1 часть;

3) 2·120=240 (грамм) - свинца в сплаве;

4) 5·120=600 (грамм) - олова в сплаве

ответ: 240 грамм свинца; 600 грамм олова