Через точку (1; 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.

проведём через точку (1; 4) прямую, пересекающую оси ох и оу в положительных значениях. координата точки пересечения с осью ох равна х, а с осью оу равна у.

длину по у можно выразить через х по пропорции:

4/(х - 1) = у/х, отсюда у = 4х/(х - 1).

сумма длин х + у = х + (4х/(х - 1)) = (х² - х + 4х)/(х - 1) = (х² + 3х)/(х - 1).

производная этой функции равна y' = (x² - 2x - 3)/(x - 1)².

для нахождения минимума приравняем её нулю (достаточно числитель): x² - 2x - 3 = 0. д = 4 + 4*3 = 16. х = (2+-4)/2 = 3 и -1 (отрицательное значение не принимаем).

определим знаки производной (по числителю - знаменатель положителен) левее и правее найденной критической точки.

х =     2       3       4

y' =   -3       0       5     переход от + к -   это минимум.

находим уравнение прямой через 2 точки: (1; 4) и (3; 0)

(х - 1)/2 = (у - 4)/-4.   сократим знаменатели на 2.

(х - 1)/1 = (у - 4)/-2. это каноническое уравнение прямой.

-2х + 2 = у - 4.

у + 2х - 6 = 0   это общее уравнение прямой,

у = -2х + 6   оно же с угловым коэффициентом.