По координатам вершины пирамиды а1а2а3а4 найти 1)длину ребер а1а2 и а1а3 2)угол между ребрами а1а2 и а1а3 3)площадь грани а1а2а3 4)объем пирамида а1(-2; 1; -1) а2(-3; 1; 3) а3(-4; 2; -1) а4(-2; 3; 1)

даны вершины пирамиды а1(-2; 1; -1), а2(-3; 1; 3), а3(-4; 2; -1), а4(-2; 3; 1).

1. нахождение длин ребер и координат векторов          

                              x y z квадрат длина ребра l:  

вектор а1а2={xа2-xa1, yа2-ya1, zа2-za1}   -1 0 4 17

l = √17 ≈   4,123106.  

вектор а1а3={xа3-xa1, yа3-ya1, zа3-za1}   -2 1 0 5

l = √5 ≈ 2,236068.

2) угол между ребрами а1а2 (-1; 0; 4) и а1а3(-2; 1; 0).

cos α = (-1*(-2)+0*1+4*0)/(√17*√5) = 2/√85 ≈ 0,21693.

угол равен 1,352127 радиан или 77,471192   градуса.

3) площадь грани а1а2а3 - это (1/2) векторного произведения   а1а2 (-1; 0; 4) и а1а3(-2; 1; 0):

произведение векторов      

a  ×  b  = {aybz  -  azby;   azbx  -  axbz;   axby  -  aybx.

подставив координаты векторов, получаем a  ×  b = -4 -8 -1

s = (1/2)*√)² + (-8)² + (-1)²) = (1/2)*9 = 4,5.

4) объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов а1а2, а1а3 и а1а4.

а1а2 х а1а3 = (-4; -8; -1) из пункта 3).

находим вектор   а1а4.

вектор аd={xа4-xa1, yа4-ya1, zа4-za1} =   0 2 2.

(а1а2 х а1а3) х а1а4 = )*0 + (-8)*2 + (-1*2)) = 16 + 2 = 18.

v = (1/6)*18 = 3.