Найти проекцию точки м(8,-2,7) на плоскость 4х-7у+5z+9=0?

объяснение :

для нахождения проекции точки m0 на плоскость ax+by+cz+d=0, необходимо:

1) построить прямую l, проходящую через точку m0 и перпендикулярной плоскости ax+by+cz+d=0.

2) найти пересечение данной плоскости с прямой l.

общее уравнение плоскости имеет вид:   ax+by+cz+d=0  

где n(a,b,c)− называется нормальным вектором плоскости.

уравнение прямой, проходящей через точку m0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

x-x0/l = y-y0/m = z-z0/n     (x0 - икс нулевое итд.)

для того, чтобы прямая (3) была ортогональна плоскости (2), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (3) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(a,b,c) плоскости (2). следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (3) можно взять нормальный вектор плоскости (2). таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку m0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (2) имеет следующий вид:   x-x0/a = y-y0/b = z-z0/c

решение :

подставляя координаты точки m0(8, -2, 7) и координаты нормального вектора плоскости n(4, -7, 5) в (3), получим: (x-8)/4 = (y+2)/-7 = (z-7)/5

составим параметрическое уравнение прямой:

t=(x-8)/4, t=(y+2)/-7 t=(z-7)/5.

выразим переменные x, y, z через параметр t :

x= 4·t+ 8 , y= −7·t −2 , z= 5·t+ 7

итак, мы нашли уравнение прямой, проходящей через точку m0(8, -2, 7) и ортогональной плоскости (1). наша найти такой параметр t в выражениях (4), при котором точка m(x,y,z) удовлетворяла уравнению плоскости (1).

подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим

относительно t.

4 ( 4 t+ 8 ) −7 ( −7 t −2 )+ 5 ( 5 t+ 7 )+ 9 = 0

16 t+ 49 t+ 25 t+ 32 + 14 + 35 + 9 = 0

t =   −1

подставим значение t в выражения (4): x= 4 , y= 5 , z= 2 .

ответ:   проекцией точки m0(8, -2, 7) на плоскость (1) является точка: m1( 4 , 5 , 2 ).