Cosx больше или равно -1/корень 2, решить тригонометрическое неравенство и желательно с окружностью

пошаговое объяcнение: решить неравенство

    \[ \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2} \]

решение   поскольку

    \[ \left| \frac{\sqrt{3}}{2} \right|< 1 \]

, то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами.

первый способ. решим это неравенство графически. для этого построим в одной системе координат график синуса y=\sin x и прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2} (рис. 2).

рис. 2

выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2}. найдем абсциссы {{x}_{1}} и {{x}_{2}} точек пересечения этих графиков:

    \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

    \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

получили интервал \left[ -\frac{4\pi }{3}; \ \frac{\pi }{3} \right], но так как функцию y=\sin x периодическая и имеет период 2\pi, то ответом будет объединение интервалов: \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k; \ \frac{7\pi }{3}+2\pi k \right],\quad k\in z.

второй способ. построим единичную окружность и прямую y=\frac{\sqrt{3}}{2}, точки их пересечения обозначим {{p}_{{{x}_{1}}}} и {{p}_{{{x}_{2}}}} (рис. 3). решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше \frac{\sqrt{3}}{2}. найдем значение {{x}_{1}} и {{x}_{2}}, совершая обход против часовой стрелки, {{x}_{1}}< {{x}_{2}}:

рис. 3

    \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

    \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k; \ \frac{7\pi }{3}+2\pi \right],\quad k\in z.

ответ   x\in \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k; \ \frac{7\pi }{3}+2\pi \right],\quad k\in z

пример 2

  решить неравенство \sin x> 2

решение   синус – функция ограниченная: \left| \sin x \right|\le 1, а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

ответ   решений нет.

2602,55 таккккккккккк