Исследовать функцию y=(x^3-1)/(4x^2)

дано: f= (x³+4)/x²

исследование

1.область определения d(x) -   x²≠ 0 - разрыв при х =0.

х∈(-∞; 0)∪(0; +∞).  

2. вертикальная   асимптота   - х = 0.  

3. поведение в точке разрыва.

limf(o-) = - ∞,   limf(o+) = - ∞

4. нули функции - пересечение с осью х.  

x³-1   = 0   при х = 1.  

5. пересечение с осью у – нет – функция не существует.

6. интервалы знакопостоянства.

отрицательна:   х∈(-∞; 0)∪(0; -1). положительна: х∈(1; +∞).

7. наклонная асимптота. уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).    

y(x) =   (x -1/x²)/4 = x. (разделили на х² - степень знаменателя)

y(x) = 1/4* x - уравнение наклонной асимптоты .

8. исследование на чётность.

y(-x) = (-x³-1)/(4*x²) ≠ - y(x). y(-x) = ³+4)/x² ≠ - y(-x).  

думаем:   в формуле и чётные степени и нечётные - вывод:

функция ни чётная ни нечётная.  

9. поиск экстремумов - в корнях первой производной

запишем функцию в виде произведения:   y(x) = (x³+1) * (4*x²)⁻¹.  

y’(x) = 1/4 + 1/(2*x³) = 0 , : 2*x³= -4,   x=∛(-2),   x≈ -1.26 - решение.

10. локальные экстремумы.  

максимум   – хmax = y(∛-2) = -3/(4*∛2)   ≈ - 0,47. минимума – нет.

11. интервалы монотонности.  

возрастает: x∈(-∞; xmax)∪(0; +∞), убывает - х∈(xmax; 0)  

12. вторая производная - y"(x) = -3/(2*x⁴) = 0.  

13. точек перегиба - нет (только в точке разрыва - х =0)

выпуклая – «горка» х∈(-∞; -0)∪(0; +∞).  

14. область значений е(у) у∈(-∞; +∞)  

15. график в приложении