Числа p и q подобраны так, что парабола y=qx−x2 пересекает гиперболу xy=p в трёх различных точках a,b и c, причём сумма квадратов сторон треугольника abc равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. найдите произведение pq. ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. целую и дробную части разделяйте точкой. если возможных различных значений произведения pq окажется несколько, в ответе укажите их сумму.

ответ:

pq = 54

пошаговое объяснение:

пусть точки пересечения имеют вид , и . выразим через координаты то, что дано в условии.

сумма квадратов сторон:

(a - сумма квадратов, b - сумма попарных произведений)

расстояние от начала координат до точки пересечения медиан

известно, что координаты точки пересечения медиан можно найти по формулам:

тогда квадрат расстояния от начала координат до точки пересечения медиан, для удобства умноженный на 9, выражается так:

получилась система линейных уравнений на a и b. из неё 4b = 2 * 81 - 378 = -216, b = -54. осталось выразить сумму попарных произведений, для этого понадобится немного преобразовать систему и вспомнить теорему виета.

умножаем уравнение параболы на x и заменяем xy на p, получается кубическое уравнение . понятно, что найдя из этого уравнения x, потом по формуле y = p/x однозначно найдем y. значит, , и - корни кубического уравнения. по теореме виета сумма их попарных произведений равна коэффициенту при x, он равен нулю.

умножаем уравнение параболы на , избавляемся от x и получаем . аналогично, нужна сумма попарных произведений, она равна -pq.

приравниваем:

Відповідь:

81 см²

Покрокове пояснення:

P квадрата - 4a

S квадрата - а²

4а = 36 см

а = 9 см;

а² = 9² = 81 см²

S = 81 см²