Даны координаты точек a (-4,-2,-5), b(1,8,-5), c(0,4,-4), d(9,-2,-10 ). найти: 1) уравнение плоскости p , проходящей через точки a b c; 2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку d , перпендикулярно плоскости p ; 3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными плоскостями xoy, xoz, yoz; 4) расстояние от точки d до плоскости p .

даны координаты точек a (-4,-2,-5), b(1,8,-5), c(0,4,-4), d(9,-2,-10 ).

найти:  

1) уравнение плоскости p , проходящей через точки a b c.

для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - x1   y - y1   z - z1   = 0

x2 - x1   y2 - y1   z2 - z1

x3 - x1   y3 - y1   z3 - z1

x - (-4)   y - (-2)   z - (-5)   = 0

1 - (-4)   8 - (-2)   (-5) - (-5)

0 - (-4)   4 - (-2)   (-4) - (-5)

x - (-4)   y - (-2)   z - (-5)   = 0

5                 10                   0

4                 6                   1

(x ·1-0·6) - (y ) )(5·1 -0·4) + (z ·6- 10·4) = 0

10 (x -   (-4) ) +   (-5) (y -   (-2) ) +   (-10) (z -   (-5) ) = 0

10x   -   5y   -   10z -   20   =   0, после сокращения на 5 имеем:

2x   -   y   -   2z -   4   =   0.

2) канонические уравнения прямой α , проходящей через точку d ,

перпендикулярно плоскости p. нормальный вектор плоскости авс равен направляющему вектору прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

a: (x - 9)/2 = (y + 2)/(-1) = (z + 10)/(-2).

3) точки пересечения прямой α с плоскостью p и с координатными

плоскостями xoy, xoz, yoz.

для этого представим прямую а в параметрическом виде:  

  (x-9)/2 = t или x = 2t + 9

(y+2)/(-1) = t или y = -t - 2  

(z+10)/(-2) = t или z = -2t - 10.

подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости, получаем:  

4t + 18 + t + 2 + 4t + 20 - 4 =   0  

9t = -36,   t = -36/9 = -4.

подставим значение t = -4 в параметрическое уравнение прямой. тогда получим:  

x = 1, y = 1, z = -2.

при пересечении прямой α с координатными   плоскостями xoy, xoz, yoz координаты соответственно равны: z =0, y = 0, x = 0.

z = 0       -2y - 4 = -10       y = 6/2 = 3.

y = 0       x - 9 = 4             x = 4 + 9 = 13.

x = 0       2z + 20 = 18     z = -2/2 = -1.

4) расстояние от точки d до плоскости p .

это расстояние находится по формуле:  

|дm| = √((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs))

координаты векторов ab, ac, aд равны:

ab = (5,   10,   0)

ac = (4,   6,   1)

aд = (13,   0,   -5)

координаты векторного произведения ab и ac:   [abxac] = (10,   -5,   -10)

модуль векторного произведения ab и ac: |[abxac]| = √(225) = 15

модуль смешанного произведения aд, ab, ac: |as[abxac]| = 180.

расстояние от точки s до плоскости abc вычисляется по формуле

|дm| = |as[abxac]| / |[abxac]|.

|дm| = 180 / √(225) = 12 = 12.