Найти производную функции y= ln^2 sin корень x, не через калькулятор только

Квадрат АВСD и цилиндр расположены таким образом, что АВ – диаметр верхнего основания цилиндра, а СD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности.

а) Докажите, что плоскость квадрата наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

б) Найдите длину той части отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра, если образующая цилиндра равна \sqrt 6.

Решение

Главное в этой задаче – хороший рисунок.

а) Пусть A_1 и B_1 - проекции точек А и В на нижнее основание цилиндра. Покажем, что угол между плоскостями ABC и A_1 B_1 C равен 60°.

Пусть М – точка касания окружности нижнего основания цилиндра и прямой DC.

A_1 B_1 \parallel CD,

Tочка М - середина CD.Очевидно, O_1 M\perp CD

Обозначим O_1 M=r;\ r=\frac {1}{2}A_1 B_1=\frac {1}{2} AB.

Тогда OM=AD=2r.

В треугольнике OO_1 M гипотенуза ОМ в 2 раза больше катета O_1 M .

Значит, ∠O_1 OM=30^{\circ}, ∠OMO_1=60^{\circ} . Угол ∠OMO_1 - это угол между плоскостями (ABC) и ( A_1 B_1 C) .

б) Пусть длина образующей цилиндра AA_1=\sqrt 6 ,

F – точка пересечения отрезка BD с поверхностью цилиндра, F_1 – проекция точки F на плоскость A_1 B_1C.

В пункте (а) мы нашли, что OM =2r. Тогда OO_1= AA_1=r\sqrt 3 - образующая цилиндра.

Поскольку AA_1=\sqrt 6, найдем r=\sqrt 2.

Теперь нам известны стороны квадрата. AD=BC=AB=2\sqrt 2.

Диагональ квадрата АВСD в \sqrt 2 раз больше его стороны, поэтому BD=2\sqrt 2\cdot \sqrt 2=4 .

Из ∆A_1 B_1 D :

B_1D=\sqrt{(2r)^2+r^2}=r\sqrt{5}=\sqrt{10},

\cos \angle A_1B_1D=\frac{2r}{r\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}};

\angle A_1F_1B_1=90^{\circ} (опирается на диаметр A_1B_1),

B_1F_1=A_1B_1\cdot \cos \angle A_1B_1D=2r\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4r}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}};

Тогда

F_1D=B_1D-B_1F_1=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5};

\Delta BB_1D\sim \Delta FF_1D;

\frac{B_1D}{F_1D}=\frac{BD}{FD};\ FD=\frac{F_1D\cdot BD}{B_1D}=\frac{\sqrt{10}\cdot 4}{5\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{5};

BF=BD-FD=4-\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.

ВF – это часть отрезка ВD, которая находится внутри цилиндра. Она равна \frac{16}{5}.

б) \frac{16}{5}

Поделиться страницей

Это полезно

© ЕГЭ-Студия

Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.