Основания равнобедренной трапеции 4 и 9. вне плоскости трапеции взята точка m на расстоянии 5 от каждой из ее сторон. определите, на каком расстоянии от плоскости трапеции находится точка m.

пусть дана равнобедренная трапеция авсd. из условия ясно, что точка м проецируется в центр о вписанной в трапецию окружности, так как расстояние от точки м до стороны - это перпендикуляр из точки м к стороне, а радиус вписанной окружности - перпендикуляр из точки о на плоскости трапеции к ее стороне. основания этих перпендикуляров находятся в одной точке по теореме о трех перпендикулярах. диаметр вписанной в нашу трапецию окружности пройдет через середины ее оснований, значит боковая сторона трапеции будет равна сумме двух отрезков: половин большего и меньшего оснований, так как касательные из одной точки к окружности равны, то ар=ан и вр=вn (см. рисунок). но ор - это высота из прямого угла   треугольника аов (боковая сторона видна под углом 90° из центра вписанной окружности   - свойство). и по ее свойству равна ор = √(ар*вр) = √(2*4,5) = 3 ед. тогда по пифагору из прямоугольного треугольника мор найдем искомое расстояние мо.

мо=√(мр²-ор²) = √(5²-3²) = 4 ед.   это ответ.