Упрямокутному трикутнику висота і медіана проведені з вершини прямого кута відповідно дорівнюють 40 і 41 см.знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї ж вершини в прямоугольном треугольнике высота и медиана проведены с вершины прямого угла соответственно равны 40 и 41 см .найти длину биссектрисы, проведенной из этой же вершины

возьмём треугольник abc ( угол в=90 градусов), в котором вн -высота, вm - медиана

медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, соответственно вm = аm=cm=41 см.

в треугольнике внm найдём нm по теореме пифагора:

нm=√(41²-40²)=√(1681 - 1600) = 9 см.

3)тогда aн = am - нm =41 - 9 = 32 см.

тогда сторона ав по теореме пифагора равна:

ав=√(40² + 32²)=√(1600 + 1024) = √2624 = 8√41 см.

аналогично сторона вс равна:

вс = √(82² - (8√41²) = √(6724 - 2624) = √4100 = 10√41 см.

теперь все стороны треугольника авс известны, биссектрису вк в нём из вершины в можно найти несколькими способами.

можно применить готовую формулу:

вк = (2/(а + с)*√(аср(р - здесь полупериметр р = 98,628118 см.

подставив данные, получим вк = 40,246156 см.

можно по теореме косинусов.

тангенс угла с равен (8√41 /10√41 ) = 4/5.

косинус с = 1/(√(1 + (4/5)²) = 5/√41.

находим ск по свойству биссектрисы ав/ак = вс/ск.

ск/10√41   = (82 - ск)/8√41.

отсюда находим ск = (410/9) см.

тогда биссектриса вк равна:

вк = √((10√41)² + (410/9)² - 2*(10√41)*(410/9)*(5/√41 ) = 40,24616 см.