Какое наименьшее натуральное число n, у которого существует три различных натуральных делителя, произведение которых равно 14^600?

14^600 = 2^600 * 7^600, поэтому все простые делители сомножителей это 2 и 7.

чтобы n было наименьшим, у него не должно быть делителей, отличных от 2 и 7 (если это было бы не так, можно было бы выбросить все остальные простые множители и получить меньшее n, у которого можно было бы найти те же три делителя).

пусть степени двойки, входящие в сомножители, есть a < = b < = c, при этом a + b + c = 600. тогда c > = 200 (если c < = 199, то a + b + c < = 3c < = 597). значит, n делится на 2^200.

аналогично, n делится на 7^200. тогда n > = 2^200 * 7^200.

n = 2^200 * 7^200 не подходит: максимальный сомножитель может быть не больше n, остальные строго меньше n, поэтому произведение строго меньше n^3 = 14^600.

следующий по возрастанию вариант n = 2^201 * 7^200. он подходит: тремя делителями можно взять 2^199 * 7^200, 2^200 * 7^200, 2^201 * 7^200.

ответ: 2^201 * 7^200.