Пусть a,b,c- положительные. числа, сумма которых равна 1. докажите неравенство: 30 . можно побыстрее

пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. докажите неравенство:    

решение 1

заметим, что       (мы использовали неравенство       между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных x, y). осталось сложить три аналогичных неравенства.

решение 2

  не умаляя общности, можно считать, что   a ≥ b ≥ c,   тогда   1 – c² ≥ 1 – b² ≥ 1 – a²   и, следовательно,  

  заметим, что     таким образом, нужно доказать неравенство  

  поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. если   a ≥ b ≥ ⅓ ≥ c,   то заменим все знаменатели на   1 – c²,   в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. если   a ≥ ⅓ b ≥ c,   то заменим все знаменатели на   1 – b²,   тогда положительное слагаемое и одно из отрицательных только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.

выбирай 1 или 2

подберём последние цифры в двух последовательных числах:

0*1=0

1*2=2

2*3=6

3*4=12

4*5=20

5*6=30

6*7=42

7*8=56

8*9=72

9*0=0

значит, последняя цифра произведения будет 2,0 или 6, что кратно 2. если последняя цифра числа кратна 2, все число кратно 2