Все ребра правильноё четырёхугольной пирамиды tpquv равны сежду собой, точки b,c,d- середины ребер tp,tv,tu. через точку b проведена прямая p, параллельная пряимой cd. постройте точку a пересечения прямой p с плоскостью tqu и найдите площадь основания пирамиды, учитывая, что площадь четырёхугольника abcd равна s

в правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 1. точка f – середина ребра as.

а) постройте прямую пересечения плоскостей sad и bcf.

б) найдите угол между плоскостями sad и bcf.

решение:

а) постройте прямую пересечения плоскостей sad и bcf.

построим плоскость (bcf). прямая bc параллельна ad, ad лежит в плоскости (ads), следовательно, bc параллельна плоскости (ads). точка f лежит в плоскостях (bcf) и (ads). если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. в данном случае плоскость bcf пересекает плоскость ads по прямой ef, параллельно вс. прямая ef – искомая прямая пересечения плоскостей sad и bcf.

б) найдите угол между плоскостями sad и bcf.

плоскость сечения (bcf) есть равнобедренная трапеция bcef. проведем высоту ем трапеции bcef. из точки е проведем перпендикуляр ек к стороне ad. угол ∠мек – угол между плоскостями sad и bcf. найдем величину этого угла. так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠мек, получим

mk2 = me2 + ek2 — 2·me·ek·cos∠мек

(1)

mk = ab = 1

так как точка f – середина sa и ef ii ad, то ef – средняя линия треугольника ∆sad.

ef = 1/2ad = 1/2

рассмотрим равнобедренную трапецию bcef, найдем мс:

се – медиана и высота треугольника ∆scd. из прямоугольного треугольника ∆ced найдем се:

ce2 = cd2 – ed2

ce2 = 12 – (1/2)2 = 3/4

ce = √3/2

из прямоугольного треугольника ∆сем найдем ме:

ме2 = се2 – мс2

ме2 = (√3/2)2 – (1/4)2 = 11/16

ме = √11/16

из прямоугольного треугольника ∆edk найдем ек:

ek2 = ed2 – dk2

ed = ef = 1/2

dk = mc = 1/4

ek2 = (1/2)2 – (1/4)2 = 3/16

ek = √3/4

в правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 1. точка f – середина ребра as.

а) постройте прямую пересечения плоскостей sad и bcf.

б) найдите угол между плоскостями sad и bcf.

решение:

а) постройте прямую пересечения плоскостей sad и bcf.

построим плоскость (bcf). прямая bc параллельна ad, ad лежит в плоскости (ads), следовательно, bc параллельна плоскости (ads). точка f лежит в плоскостях (bcf) и (ads). если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. в данном случае плоскость bcf пересекает плоскость ads по прямой ef, параллельно вс. прямая ef – искомая прямая пересечения плоскостей sad и bcf.

б) найдите угол между плоскостями sad и bcf.

плоскость сечения (bcf) есть равнобедренная трапеция bcef. проведем высоту ем трапеции bcef. из точки е проведем перпендикуляр ек к стороне ad. угол ∠мек – угол между плоскостями sad и bcf. найдем величину этого угла. так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠мек, получим

mk2 = me2 + ek2 — 2·me·ek·cos∠мек

(1)

mk = ab = 1

так как точка f – середина sa и ef ii ad, то ef – средняя линия треугольника ∆sad.

ef = 1/2ad = 1/2

рассмотрим равнобедренную трапецию bcef, найдем мс:

се – медиана и высота треугольника ∆scd. из прямоугольного треугольника ∆ced найдем се:

ce2 = cd2 – ed2

ce2 = 12 – (1/2)2 = 3/4

ce = √3/2

из прямоугольного треугольника ∆сем найдем ме:

ме2 = се2 – мс2

ме2 = (√3/2)2 – (1/4)2 = 11/16

ме = √11/16

из прямоугольного треугольника ∆edk найдем ек:

ek2 = ed2 – dk2

ed = ef = 1/2

dk = mc = 1/4

ek2 = (1/2)2 – (1/4)2 = 3/16

ek = √3/4

подставим полученные данные в формулу (1), получим

ответ: