Опытное доказательство первого закона ньютона

формула бинома ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд тейлора:

{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k! }\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k! }}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k! }\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k! }}}

при этом ряд

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}++{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n! }}z^{n}+} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2++\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n! }z^n+

сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.

в частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\; m^{2}}}++{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n! \; m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}++\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n! \; m^n}+\dots.

переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n! }}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n! }+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено эйлером.