50 ! в треугольнике заданы вершина а(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

дано: вершина а(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины.

находим координаты вершины в, из которой выходят медиана и высота, приравняв их уравнения.

x-5y+7= x+4y-2,

9у = 9,

у = 9/9 = 1,   х = 2 - 4у = 2 - 4*1 = -2.

точка в(-2; 2).

сторона ас перпендикулярна заданной высоте вн = x+4y-2=0.

уравнение высоты вн выразим относительно у: у = (-1/4)х + (1/2).

угловой коэффициент стороны ас равен:

к(ас) = -1/к(вн) = -1/(*1/4) = 4.

тогда уравнение ас имеет вид у = 4х + в.

для определения величины"в" подставим координаты точки а, которые нам известны.

6 = 4*4 + в, отсюда в = 6 - 16 = -10.

ас: у = 4х - 10.

найдём координаты точки м - основание заданной медианы.

уравнение медианы вм x-5y+7 = 0 выразим так: у = (1/5)х   + (7/5).

приравняем уравнения ас и вм:   4х - 10 = (1/5)х   + (7/5).

20х -50 = х + 7,

19х = 57,   х = 57/19 = 3,   у = 4*3 - 10 = 2.

точка м(3; 2).

находим координаты точки с как симметричной точке а относительно точки м: хс = 2хм - ха = 2*3 - 4 = 2,

                ус = 2ум - уа = 2*2 - 6 = -2.

точка с(2; -2).

расчет длин сторон:      

ав (с) = √((хв-ха)²+(ув-уа)²) = √61 = 7,810249676,

bc (а)= √((хc-хв)²+(ус-ув)²) = √25 =   25

,

ac (в) = √((хc-хa)²+(ус-уa)²) = √68 =   8,246211251.

по формуле герона определяем площадь треугольника авс.

s =   √(p(p-a)(p-b)(p- подставив данные, получаем s = p = 10,52823,

s   = 19.

отсюда находим длину высоты вн:

вн = 2s/ac = 2*19*/√68 = 38/√68.

уравнения сторон:

ав: (х - 4)/6 = (у - 6)/5,

вс: (х + 2)/4 = (у - 1)/(-3),

ас: (х - 4)/2 = (у -6)/8, или, сократив на 2 имеем (х - 4)/1 = (у -6)/4.