Вгруппе из 25 человек любые двое имеют общего знакомого. докажите, что из этой группы можно не менее, чем 36 способами выбрать пару знакомых школьников. 30

школьник   а   знаком   с   двумя   школьниками   б   и   в.   б   и   в   должны быть тоже знакомы,   иначе   у   них   не   будет общего знакомого   а.

поделим   знакомство   б   и   в   с   остальными   22   школьниками.

получится,   у   б   и   в   по   13   знакомств   (2+11).   на двоих   2*13=26 знакомств.

но,   чтобы   у   22   тоже   было   по   2 знакомства   они   должны перезнакомиться,   между собой   11   с   11   другими.

школьник   а   и   22   школьника   имеют   по   2   знакомства   23*2= 46 знакомств.

итого:   26 + 46= 72.

каждое   знакомство   учитывалось   дважды ( а с б   и   б с а,   и   так   далее).

поэтому   способов   в   2   раза   меньше   72: 2=36.

представим учеников, как вершины графа, а их знакомства, как рёбра. по условию, в данном графе 25 вершин и любые две вершины соединены рёбрами с общей вершиной.

докажем от противного. пусть в графе не больше 35 рёбер. допустим, что найдётся вершина степени 1, тогда рассмотрим её и вершину, соединённую с ней ребром. они не имеют "общей вершины", так как та, которая имеет степень 1, не соединена больше ни с одной вершиной. если найдётся вершина степени 0, условие не выполняется для неё точно. допустим, что в графе не найдётся вершины степени 2, тогда степень каждой вершины не меньше 3, а суммарная степень вершин не меньше 75. но тогда в графе не меньше 38 рёбер. значит, найдётся вершина степени 2. рассмотрим её. она соединена с двумя вершинами (2 ребра). каждая из остальных 22 вершин должна иметь "общую вершину" с этой, значит, каждая из оставшихся вершин соединена ребром с одной из этих двух (ещё 22 ребра) (это для того, чтобы "вершина степени 2" имела "общую вершину" с каждой из остальных). рассмотрим "эти две вершины", они должны иметь "общую вершину" с каждой из тех, с которыми соединены, значит, должны быть соединены и между собой (ещё одно ребро) (чтобы "вершина степени 2" и каждая из "этих двух вершин" имела "общую вершину"). так как степень остальных вершин должна быть не меньше 2, то нужно ещё не менее 11 рёбер. итого в графе не менее 36 рёбер, что больше 35.

эти 36 рёбер и есть искомые 36 способов выбрать пару знакомых школьников.