Втреугольнике abc провели биссектрису bl. оказалось, что ab•bc=al•ac. докажите, что треугольник abl – равнобедренный.

биссектриса треугольника определение 4. любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.  

под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.

теорема 8. три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.  

биссектрисы действительно, рассмотрим сначала точку р пересечения двух биссектрис, например ак1 и вк2. эта точка одинаково удалена от сторон ав и ас, так как она лежит на биссектрисе угла а, и одинаково удалена от сторон ав и вс, как принадлежащая биссектрисе угла в. значит, она одинаково удалена от сторон ас и вс и тем самым принадлежит третей биссектрисе ск3, то есть в точке р пересекаются все три биссектрисы.

свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника

теорема 9. биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

к теоремам 9 и 10 доказательство. рассмотрим треугольник авс и биссектрису его угла в. проведем через вершину с прямую см, параллельную биссектрисе вк, до пересечения в точке м продолжением стороны ав. так как вк – биссектриса угла авс, то ∠авк=∠квс. далее, ∠авк=∠вмс, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠квс=∠всм, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. отсюда ∠всм=∠вмс, и поэтому треугольник вмс – равнобедренный, откуда вс=вм. по теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем ак: кс=ав: вм=ав: вс, что и требовалось доказать.

теорема 10 биссектриса внешнего угла в треугольника авс обладает аналогичным свойством: отрезки al и cl от вершины а и с до точки l пересечения биссектрисы с продолжением стороны ас пропорциональны сторонам треугольника: al: cl=ab: bc.

это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена прямая см, параллельная биссектрисе bl. углы вмс и всм равны, а значит, и стороны вм и вс треугольника вмс равны. из чего приходим к выводу al: cl=ab: bc.

формула биссектрисы 1 теорема d4. (первая формула для биссектрисы): если в треугольнике abc отрезок al является биссектрисой угла a, то al? = ab·ac - lb·lc.

доказательство: пусть m - точка пересечения прямой al с окружностью, описанной около треугольника abc (рис. 41). угол bam равен углу mac по условию. углы bma и bca равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. значит, треугольники bam и lac подобны по двум углам. следовательно, al : ac = ab : am. значит, al · am = ab · ac < => al · ( al + lm ) = ab · ac < => al? = ab · ac - al · lm = ab · ac - bl · lc. что и требовалось доказать. примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность.

формула биссектрисы 2

теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): в треугольнике abc со сторонами ab=a, ac=b и углом a, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:

l = ( 2ab / (a+b) ) · cos? .

доказательство: пусть abc - данный треугольник, al - его биссектриса (рис. 42), a=ab, b=ac, l=al. тогда sabc = salb + salc. следовательно, absin2? = alsin? + blsin? < => 2absin? ·cos? = (a + b)·lsin? < => l = 2·( ab / (a+b) )· cos? . теорема доказана.