Решить уравнение (x^2+x-2)(x^2+x+2)=-2 ,и найти произведение его корней

task/30136078

(x² + x - 2)(x² + x + 2) = - 2 ⇔(x² + x)² - 2²   = - 2 ⇔ x⁴ + 2x³ + x² - 2 =0  

x₁*x₂*x₃*x₄   = - 2                                                 ответ :   - 2.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

x⁴ + px³+qx² +rx+ s =0

x₁+x₂+x₃+x₄=   -   p                                                 * * * -2   * * *

x₁*x₂+x₁*x₃+x₁*x₄+x₂*x₃+x₂*x₄+x₃*x₄= q               * * *   1   * * *

x₁*x₂*x₃+x₁*x₂*x₄ +x₁*x₃*x₄+ x₂*x₃*x₄ = - r             * * *   0 * * *

x₁*x₂*x₃*x₄ = s                                                       * * * -2   * * *

========================

(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄ ) =(x² - (x₁+x₂)x + x₁*x₂)*(x² - (x₃+x₄)x +x₃*x₄ ) =

= x⁴ - (x₁+x₂+x₃+x₄)x³ + ( x₁*x₂+x₁*x₃+x₁*x₄+x₂*x₃+x₂*x₄+x₃+x₃*x₄ )x²

- (x₁*x₂*x₃+x₁*x₂*x₄ +x₁*x₃*x₄+ x₂*x₃*x₄)x + x₁*x₂*x₃*x₄

Введём новую переменную х^2 + х = у. получим уравнение (у - 2)(у + 2) = -2. выражение в левой части свернем по формуле разности квадратов двух выражений (а - в)(а + в) = а^2 - в^2, где а = у, в = 2. у^2 - 2^2 = -2; у^2 - 4 = -2; у^2 = -2 + 4; у^2 = 2; у1 = √2; у2 = -√2. выполним обратную подстановку. 1) х^2 + х = √2; х^2 + х - √2 = 0. по теореме виета сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену. х1 * х2 = -√2. 2) х^2 + х = -√2; х^2 + х + √2 = 0; х3 * х4 = √2. найдем произведение всех четырех корней уравнения. х1 * х2 * х3 * х4 = -√2 * √2 = -√2. ответ. -√2.

4x^4+3x^2+32x+24=0 x^3(4x+3)+8(4x+3)=0 (4x+3)(x^3+8)=0 x^3+8=0 x^3=-8 x=-2 4x+3=0 x=-3/4 ответ: -2 и -3/4