A,b — натуральные числа. найдите наибольшее возможное значение нод (a−8,b^3+1,a^2+b).

b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)

рассмотрим первый случай, когда нод трёх чисел, равен множителю b+1.

1) положим что  

нод(a-8, b^3+1, a^2+b) = m тогда пусть   a=mx-8, b=mz-1 тогда   a^2+b=m(x^2+16x+z)+63 то есть нод в данном случае должен быть делителем числа 63=9*7 , откуда максимальный m=9 (как максимальное)

2)  

рассмотрим случай когда m находится во множителе b^2-b+1=y тогда пусть нод=m и

b^2-b+1-y=0

d=sqrt(1-4(1-y))=x^2   где   x,y натуральные числа

  4y-3=x^2  

y=(x^2+3)/4   пусть x=x1+x2n тогда подставляя  

  (x1^2+2x1*x2*n+x2^2n^2+3)/4   тогда чтобы y было натуральным ,   x1=1   откуда   x2=2 то есть   x=2n+1   откуда y=n^2+n+1 значит   b=n+1

тогда все три числа равны , если нод = m , то   (m*t, (n+1)(n^2+n+1), (mt-8)^2+n+1) = (m*t , (n+1)(n^2+n+1) ,   65+n)

  то есть надо найти наибольшее нод чисел ((n+1)(n^2+n+1), 65+n)

  вычтев с n^2+n+1-(65+n) =   n^2-64 , тогда пусть   65+n=m*l , откуда n=m*l-65 значит

((n+1)(n^2+n+1), 65+n) = (n^2-64,   n+65) = (m^2*l^2-130m*l+65^2-64 , m*l)   то есть нод m=65^2-64 = 4161  

ответ 4161   выполняется например при   a=4169, b=4097