Пользуясь формулой муавра и бином ньютона, выразите через степени sin фи cos фи следующие функции кратных углов: 1) sin 4фи; 2)cos 5фи.

task/29588553   пользуясь формулой муавра   и   бином ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :

1) sin 4φ   ;       2) cos 5φ.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *   z₁ =a₁ + i *b₁   ;     z₂ =a₂ +i*b₂ .       если   z₁ = z₂ , то   a₁ = a₂ и   b₁ = b₂   * * *

формула муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].

1 )   (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ +i * sin4φ     ( а₁ )             * * * r =1 * * *

с другой стороны по формуле бинома ньютона :

(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴

= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) .   ( б₁ )

сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :

sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ   || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =

2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||  

========================================

2)   (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ       ( а₂ )    

(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +

+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +

+i*(5cos⁴φ*isinφ -   10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ).       ( б₂ )    

сравнивая (а₂) и (б₂) получаем   :

cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ   .

4√3; 2√11; 6.6; √(6,5)²; √41

т.к 4√3=6.92; 2√11=6.63; 6.6; √(6,5)²=6.5; √41=6.4