Чьи имена людей связаны со словом пропорция. кто первый употребил это слово.

обращение пропорции. если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac   ab}={\frac   cd}, то {\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}} \ {\frac   ba}={\frac   dc}

перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac   ab}={\frac   cd}, то {\displaystyle \ ad=bc} \ ad=bc

перестановка средних и крайних членов. если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac   ab}={\frac   cd}, то

{\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} \ {\frac   ac}={\frac   bd}     (перестановка средних членов пропорции),

{\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}} \ {\frac   db}={\frac   ca}     (перестановка крайних членов пропорции).

увеличение и уменьшение пропорции. если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac   ab}={\frac   cd}, то

{\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}} \ {\dfrac   {a+b}{b}}={\dfrac   {c+d}{d}}     (увеличение пропорции),

{\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}} \ {\dfrac   {a-b}{b}}={\dfrac   {c-d}{d}}     (уменьшение пропорции).

составление пропорции сложением и вычитанием. если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac   ab}={\frac   cd}, то

{\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac   {a+c}{b+d}}={\frac   ab}={\frac   cd}     (составление пропорции сложением),

{\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac   {a-c}{b-d}}={\frac   ab}={\frac   cd}     (составление пропорции вычитанием).

первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] позже евдокс определение, равенство пропорций {\displaystyle a: b=c: d} {\displaystyle a: b=c: d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

{\displaystyle m\cdot a> n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a> n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c> n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c> n\cdot d},

{\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d},

{\displaystyle m\cdot a< n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a< n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c< n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c< n\cdot d}

для любой пары натуральных чисел {\displaystyle m} m и {\displaystyle n} n. это определение даётся в «началах» евклида.

с появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние не рассматривали пропорции длины как числа. определение евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное дедекиндом через сечения.

связанные определения

арифметическая пропорция

см. также: среднее арифметическое

равенство двух разностей {\displaystyle a-b=c-d} a-b=c-d иногда называют арифметической пропорцией[3].

гармоническая пропорция

основная статья: золотое сечение

если у пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: {\displaystyle a: b=b: (a-b)} a: b=b: (a-b). в этом случае, разложение {\displaystyle a} a на сумму двух слагаемых {\displaystyle b} b и {\displaystyle a-b} a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

на тройное правило

в содержание на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

на сложное тройное правило называют , в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].