Что такое погрешность произведений. погрешность частного. вычисление с заданной точностью?

формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу

,

для a = или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:

формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

;

погрешность функции

основная теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента , имеющего известную предельную абсолютную погрешность . если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

погрешность вычислительный приближенный функция

.

считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

x0 < < 1 и f(x0) < < 1.

нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

погрешность функции нескольких переменных

пусть y = f(x1, x2, …, xn) - приближенное значение функции от приближенных аргументов, , …, , которые имеют абсолютные ошибки , , …, .

для определения используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента :

,

где производная определяется по x1. затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом :

.

в итоге искомая погрешность функции , определяется суммой всех частных ошибок:

.

условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

xi < < 1 (i = ); f(x1, x2, …, xn) < < 1.

обратная теории погрешностей

обратная теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. с использованием понятия функции нескольких переменных эта формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.

эта является неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. в простейшем случае для решения этой используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

.

все слагаемые из правой части принимаются равными:

отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом: