Существует ли такой 2010-ти угольник, чтобы одним разрезанием по прямой линии, можно было бы получить 1005 треугольников.

а почему бы и нет:

нарисуем равнобедренный треугольник и из его основания построим равнобедренный треугольник с меньшей высотой. проведём из вершины второго треугольника прямую, параллельную основанию, и поделим отрезок этой прямой, концы которого со сторонами первого треугольника, на 3 равные части. проведём из вершин при основании первого треугольника отрезки к точке конца первой части отрезка и к точке начала третьей части отрезка (какая точка ближе - к той и проводим), а оставшуюся часть отрезка делим на 1003 равных отрезка и строим 1003 равнобедренных треугольника с основаниями в этих отрезках. стерев ненужное (второй равнобедренный треугольник и отрезок, который делили) получаем многоугольник с 2010-ю сторонами и 1005-ю "зубцами". отрежем "зубцы" по недавно стёртому отрезку и получим 1005 треугольников (даже 1006), а если 1006-ой треугольник не нужен, то дорисовываем к отрезку, который делили, 1004 деление, строим по равнобедренному треугольнику на всех делениях кроме 666-ого, а боковые стороны равнобедренных треугольников, вершины которых являются концами 666-ого деления, продлеваем немного, чтобы получился какой-то треугольник, смотрящий "в обратную сторону", из-за чего при разрезании 1005 "зубцов" остаются треугольниками, а остальная часть многоугольника была шестиугольником.

ответ: да, существует.