Найдите х корень из 3 sin(x) + cos(x) = 2

task/29465133

√3sinx + cosx = 2

* * * методом угла:   asinx + bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) , где

φ= arctg(b/a)     ||   a =√3 ; b =1   ; √(a²+b²)= 2 ;   φ= arctg(1/√3)=π/6   ||   * * *

но уравнение проще √3sinx + cosx = 2 ⇔ √3)/2 *sinx +(1/2)* cosx   =1   ⇔

sinx*cos(π/6) +cosx*sin(π/6)   =1 ⇔ sin(x +π/6) =1 ⇔x+π/6=π/2+2πn , n∈ ℤ .⇔

ответ :   x =π/3+2πn , n∈ ℤ.

=======================================

как не надо решать   ( однородное уравнение)

* * *   sin²α+cos²α=1 ; sin2α=2sinαcosα ; cos2α= cos²α - sin²α ;   x =2*(x/2) * * *

√3sinx +cosx=2⇔2√3sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)=2cos²(x/2)+2sin²(x/2)

⇔ 3sin²(x/2) -2√3sin(x/2)cos(x/2 +cos²(x/2) =0   || : cos²(x/2) ≠ 0

3tg²(x/2) - 2√3tg(x/2) +1 =0   кв. уравнение относительно tg(x/2)   = t

d₁ =(√3)²-3*1=0   кратный корень

tg(x/2) = (√3)/3     * * * x /2 =arctg[(√3)/3] +πn , n ∈ ℤ   * * *

tgx =tg[2*(x/2) ] = 2tg(x/2) / [ 1 - tg²(x/2) ] = √3 .

x = π / 3+ πn ,   n ∈   ℤ.     откуда   появился второй   корень