Разложение на множители суммы и разности кубов m³n³-1= 1+q³p³= 27-a³b³= p⁶-q³= m³+n¹²= x³-y⁶=

m³n³-1=(mn)³-1³=(mn-)²+mn×1+1²)=(mn-1)(m²n²+mn+1)

1+q³p³=(1+qp)(1-pq+q²p²)=(1+pq)(1-pq+p²q²)

27-a³b³=3³-(ab)³=(3-ab)(3²+3ab+(ab)²)=(3-ab)(9+3ab+a²b²)

p⁶-q³=p³ˣ²-q³=(p²)³-q³=(p²-²)²+p²q+q²)=(p²-q)(p⁴+p²q+q²)

m³+n¹²=m³+n³ˣ⁴=m³+(n⁴)³=(m+n⁴)(m²-mn⁴+(n⁴)²)=(m+n⁴)(m²-mn⁴+n⁸)

x³-y⁶=x³-y³ˣ²=x³-(y²)³=(x-y²)(x²+xy²+(y²)²)=(x-y²)(x²+xy²+y⁴).

сумма n нечетных последовательных чисел это арифмитеческая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. доказано

откуда мне может быть известно в каком классе учишься, если характер олимпиадный?

вариант 2 (вывод формулы "вручную")

s=1+3+5+7+..+(2n-1)

s=(2n-1)+(2n-3)++7+5+3+1;

2s=1+3+5+7+..+(2n-1)+(2n-1)+(2n-3)++7+5+3+1=(1+(2n-1))+(3+(2n-3))+=n скобок в каждой сумма равна числу 2n=n*2n=2n^2 (два єн в квадрате)

s=n^2

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. доказано

вариант 3 (с использованием метода индукции)

гипотеза. ищем формулу

2*1-1=1=1=1^2

2*1-1+2*2-1=1+3=4=2^2

2*1-1+2*2-1+2*2-1=1+3+5=9=3^2

напрашивается формула 1+3+5++(2n-1)=n^2

докажем методом индукции, что єто истинно.

база индукции n=1: 1=1^2 верно

гипотеза индукции. пусть при n=k: 1+3+5++(2k-1)=k^2

индукционный переход. докажем, что тогда утверждение истинно и при n=k+1

1+3+5++(2k-1)+(2k+1)=используем гипотезу=k^2+(2k+1)=используем формулу квадрата двучлена=(k+1)^2, что и требовалось доказать

по принципу индукции 1+3+5++(2n-1)=n^2.

так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. доказано

вариант4 ()

возьмем квадрат размерами 1*1 его площадь 1

возьмем достроем его 3 квадратами 1*1(их площадь 3*1*1=3), получится большой квадрат 2*2

(1+3=2*2)

возьмем достроим новый квадрат 5 квадратами 1*1(их площадь 5*1*1=5), получится большой квадрат 3*3

(1+3+5=)

и т.д.сумма площадей "маленьких n квадратов" равна площади большого квадрата n*n

1+3+5++(2n-1)=n^2

видим ,что так как n^2 делится на n, то тем самым мы доказали,что   сумма n нечётных последовательных чисел делится на n. доказано

вариант 5, разобьем сумму на подсуммы первый с последним, второй с предоследним, и т.д., если количевство нечетных чисел нечетно среднее слагаемое само по себе

1+2n-1=2n делится на n

3+2n-3=2n делится на n

n/2-1+n/2+1=n делится на n

и ("особое слагаемое")

n делится делится на n

каждое из слагаемых делится на n, значит и вся сумма делится на n