Можно ли квадрат натурального числа записать с 3 единиц, 4 пятерок и любого количества нулей?

используем свойство: a≡s(a) (mod 9), где а - число, s(a) - сумма цифр числа. при этом, естественно, верно и s(a)≡s(s(a)) (mod 9) и т.д. по сути, конечная сумма числа(сумма его цифр, к одной цифре. пример: 169; 1+6+9=16; 1+6=7; 7 - и есть конечная сумма) равна его остатку от деления на 9( если число не кратно 9) или 9(если число кратно 9).

рассмотрим возможные остатки от деления чисел вида x² на 9.

1) x≡1(mod 9) → x²≡1*1(mod 9)≡1( mod 9)

2) x≡2(mod 9) → x²≡2*2(mod 9)≡4(mod 9)

3) x≡3(mod 9) → x²≡3*3(mod 9)≡0(mod 9)

4) x≡4(mod 9) → x²≡4*4(mod 9)≡16(mod 9)≡7(mod 9)

5) x≡5(mod 9) → x²≡5*5(mod 9)≡25(mod 9)≡7(mod 9)

6) x≡6(mod 9) → x²≡6*6(mod 9)≡36(mod 9)≡0(mod 9)

7) x≡7(mod 9) → x²≡7*7(mod 9)≡49(mod 9)≡4(mod 9)

8) x≡8(mod 9) → x²≡8*8(mod 9)≡64(mod 9)≡1(mod 9)

9) x≡0(mod 9) → x²≡0(mod 9)

как видим, могут быть следующие остатки при делении на 9 квадратов натуральных чисел: 0; 1; 4 и 7. то есть конечная сумма любого квадрата равна одному из этих чисел( но в случае, если остаток равен 0, конечная сумма равна 9)

теперь найдем конечную сумму нашего числа. 3*1+4*5+n*0=3+20=23; 2+3=5. то есть конечная сумма равна 5, чего не может быть, если искомое число квадрат. противоречие. значит числа, удовлетворяющего условиям , не существует.