Доказать, что: (х^2+у^2+z^2)^2=2(x^4+y^4+z^4) , если x+y+z=0.

возведем обе части равенства x + y + z = 0 в квадрат. получим (x + y + z)² = 0 => (x + y)² + 2(x + y)z + z² = 0 => x² + 2xy + y² + 2xz + 2yz + z² = 0 => x² + y² + z² = -2(xy + xz + yz). возведем обе части последнего равенства в квадрат. получим (x² + y² + z²)² = 4(xy + xz + yz)² = 4((xy + xz)² + 2(xy + xz)yz + y²z²) = 4(x²y² + 2x²yz + x²z² + 2y²xz + 2z²xy + y²z²) = 4(x²y² + x²z² + y²z² + 2xyz(x + y + z)) = 4(x²y² + x²z² + y²z²), т. к. x + y + z = 0. с другой стороны (x² + y² + z²)² = ((x² + y²)² + 2(x² + y²)z² + z⁴) = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + 2x²z² + 2y²z² + z⁴ = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²). тогда (x² + y² + z²)² = 4(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) => x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x²y² + x²z² + y²z²). отсюда получаем требуемое равенство (x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + x²z² + y²z²) = x⁴ + y⁴ + z⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 2(x⁴ + y⁴ + z⁴).

X^2+3xy-4xy-y+3xy+x^2+y-3xy = x^4-4xy

(x^2- это икс в квадрате)