На сторонах ad и bc параллелограмма abcd выбраны точки x и y так что xy || ab. биссектрисы углов a и c пересекают отрезок xy в точках p и q соответственно. докажите что угол adp = углу abq.

биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: ак делит ∠а на равные углы ∠вак=∠каd; а ∠акd=∠кав как накрестлежащие ⇒

∠akd=∠каd. аналогично доказывается, что ∆ nbc - равнобедренный.

по условию хy║ab.

в равнобедренных треугольниках аdк и nbc стороны вс=bn; dк=dа, а так как вс=ad и ∠cbn=∠adk, треугольники cbn и adk равны по первому признаку равенства треугольников.

боковые стороны этих треугольников лежат на параллельных прямых, кd║bn.

. ∠bnc=∠cnb=∠kab=∠ kad (доказано), ак и cn по равенству соответственных углов - параллельны.⇒

четырехугольник аnqp параллелограмм по определению (противоположные стороны параллельны), ⇒

nq=ap

∆ вnq = ∆ dap по двум сторонам и заключённому между ними углу. в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

угол adp=углу nbq=углу abq, что и требовалось доказать.