Смаятник длины 50 см совершает небольшие колебания в среде с коэффициентом затухания 0,9 с-1 определить время и число полных колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний маятника уменьшится в 5 раз.

при отсутствии трения малые колебания маятника в вертикальной плоскости происходят по гармоническому закону, причем собственная циклическая частота маятника, как известно, зависит только от длины подвеса: ω0=g/l. (1) вследствие трения колебания маятника будут затухающими: ϕ=ϕe−βtsin⁡ωt, где ϕ — угол отклонения нити маятника от вертикали в момент t. (очевидно, записанный закон движения соответствует такому началу отсчета времени, что при t=0 маятник проходит через положение равновесия, т. е. ϕ=0.) период затухающих колебаний (период гармонического сомножителя) t=2π/ω=2π/ω02−β2. (2) амплитудой затухающих колебаний принято считать выражение, стоящее перед гармоническим сомножителем. в соответствии с этим определением амплитуда а затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону: a(t)=ϕ0e−βt. (3) записав выражения амплитуды для двух моментов t и t+τ и учитывая, что отношение этих амплитуд задано, можно найти искомое время τ. число n полных колебаний за это время можно определить, если известен период t. затухающие колебания по записанному выше закону возникают, как следует из решения соответствующего дифференциального уравнения, только при условии β< ω0 [это очевидно из выражения (2): при β> ω0 период и циклическая частота оказываются мнимыми величинами]. при β≥ω0 происходит апериодический процесс, закон движения которого ϕ=b1e−δ1t+b2e−δ2t, где b1 и b2 — постоянные, определяемые из начальных условий; δ1,2=β±β2−ω02. запишем выражения (3) для моментов времени t и t+τ: a1=ϕ0e−βt,a2=ϕ0e−β(t+τ). отношение амплитуд; a1/a2=eβτ=5. логарифмируя это выражение, находим сτ=ln5/β=1,79с. число полных колебаний, прошедших за время τ, очевидно, равно отношению n=τ/t. определив из выражения (1) собственную циклическую частоту маятника и подставив ее в выражение (2), получим сt=1,45с.