Найти все значения m из условия, что корни уравнения: x^3-30x^2+mx-780=0 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Ответы на вопрос:
пусть корни уравнения a, b и c, тогда левая часть уравнения должна представляться в виде (x - a)(x - b)(x - c) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc. сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему из трех уравнений:
a + b + c = 30
ab + ac + bc = m
abc = 780
без ограничения общности можно считать, что a ≤ b ≤ c. чтобы это три числа были длинами сторон прямоугольного треугольника, они должны быть положительными, и по теореме пифагора c^2 = a^2 + b^2.
немного перепишем первое уравнение и возведём его в квадрат:
a + b = 30 - c
(a + b)^2 = (30 - c)^2
a^2 + b^2 + 2ab = 900 - 60c + c^2
(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab = 900 - 60c – выражение в скобках равно нулю
2ab = 900 - 60c
ab = 450 - 30c = 30(15 - с)
подставляем в третье уравнение:
30(15 - с)с = 780
(15 - с)с = 26
с^2 - 15c + 26 = 0
корни угадываем по теореме виета, c = 2 или 13.
1) если c = 2, то a + b = 30 - 2 = 28; ab = 30 * (15 - 2) = 390. по теореме виета a, b – корни уравнения t^2 - 28t + 390 = 0, но у этого уравнения дискриминант отрицательный: d/4 = 196 - 390 < 0, – и поэтому нет корней.
2) если c = 13, то a + b = 30 - 13 = 17; ab = 30 * (15 - 13) = 60. аналогично, a, b – корни уравнения t^2 - 17t + 60 = 0. у этого уравнения d > 0, так что корни существуют.
m = ab + c(a + b) = 60 + 13 * 17 = 281.
ответ. m = 281
Реши свою проблему, спроси otvet5GPT
-
Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос -
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах -
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно
Популярно: Математика
-
lisnyakmashenk18.09.2021 12:17
-
anny6007.04.2021 10:53
-
enotnana22.04.2021 06:25
-
ПиЗоНтИк04.12.2020 00:15
-
раф15рус20.11.2021 21:30
-
konoval1i11.12.2020 13:39
-
nоname12816.06.2021 02:18
-
tanyakill908731.03.2022 21:18
-
Tina280217.09.2020 10:16
-
geneu01.05.2020 05:12
![Caktus Image](/tpl/img/cactus.png)
Есть вопросы?
-
Как otvet5GPT работает?
otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса. -
Сколько это стоит?
Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны. -
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?
Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое! -
В чем отличия от ChatGPT?
otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.