Управильної чотирикутної піраміди двогранний кут при ребрі основи дорівнює а.знайдіть об‘єм піраміди,якщо її бічне ребро дорівнює м

дана правильная четырёхугольная пирамида равсд.

проведём в ней апофему а (отрезок рк), точку к соединим с точкой о (проекцией вершины р на основание).

тогда угол рко - это заданный угол α наклона боковой грани к основанию.

боковые рёбра равны m.

длину стороны основания примем равной а.

отрезок ко равен половине стороны основания, тогда апофема а равна:

а = (а/2)/cos α.

из прямоугольного треугольника рка имеем:

m² = (a/2)² + a² = (a²/4) + (a²/(4cos²α)) = (a²/4)/(1 + (1/cos²α

отсюда определяем величину стороны основания:

a = (2m*cos α)/√(1+cos²α) и её половину (а/2) = (m*cos α)/√(1+cos²α) и апофему а через заданные значения: а = m/√(1 + cos²α).

определяем высоту н пирамиды.

н = √(а² - (а/2)²) = √((m²/(1 + cos²α)) - ((m²*cos² α)/(1+cos²α

вынесем m за скобки и из корня:

н = m√((1 - cos² α)/(1+cos²α заменим 1 - cos² α на sin²α и вынесем из корня.

h = (m*sinα)/(√(1 + cos²α).

теперь можно найти объём пирамиды.

v = (1/3)soh = (1/3)*((4m²*cos² α)/(1+cos²α))*((m*sinα)/(√(1 + cos²α)) =

= (4m³cos²α*sin α)/(3((1 + cos²α)^(3/