На доске написано 88 различных натуральных чисел, больших 1000. их сумма равна 999 999. сережа прибавил к каждому числу число, образованное его тремя последними цифрами. (например, из числа 1111 получилось бы 1222, из числа 1011 — число 1022, а из числа 10000 — оно само.) все 88 результатов сережа записал в тетрадь. докажите, что в тетради записано хотя бы 45 различных чисел.

найдем максимальное количество одинаковых чисел.

рассмотрим любое число на доске. для данной суммы числа с его последними тремя цифрами существует не более одной подобной суммы, но уже с другим числом. иначе говоря, - имеет единственное решение для данных чисел a,b,c,d; пусть это выполняется для чисел на доске. теперь рассмотрим числа в тетради. из вышесказанного следует, что эти 88 чисел можно разбить определенным образом на 44 пары, где в каждой паре будет два одинаковых числа. то есть может получиться 44 одинаковых числа. но это с одной стороны. рассмотрим другую сторону. заметим, что сумма всех чисел нечетна - 999 999. следовательно, в этой сумме есть хотя бы одно нечетное число. взглянем на сумму числа с его тремя последними цифрами: ; если число четное, то d - четно, значит результат делится на 4. если d - нечетно, то результат не делится на 4. раз существует хотя бы одно нечетное число, то рассмотрим одну из 44-ех пар, где четное и нечетное число. в самом начале мы сказали, что в 44 парах равные числа. но из вышесказанного следует противоречие - сумма четного числа с его последними тремя цифрами не может равняться сумме некоего нечетного числа с его последними тремя цифрами, поскольку последнее не делится на 4, в отличие от четного. это означает, что хотя бы одна пара будет содержать разные числа. то есть максимальное количество одинаковых чисел равно 44-1=43. а минимальное количество различных чисел равно 88-43 = 45. значит всегда найдется по крайней мере 45 различных чисел.

Пошаговое объяснение: