А) точку m внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. докажите, что m – точка пересечения медиан треугольника. б) вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел о. докажите, что о – точка пересечения медиан треугольника.

1) пусть g - точка пересечения медиан ad, be и cf. площадь треугольника abe равна половине площади треугольника abc, так как у этих треугольников высоты, проведенные из вершины b, равны, а основание ae в два раза меньше основания ac. далее, поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, площадь треугольника abg в два раза больше площади треугольника age, то есть площадь abg - это 2/3 площади abe, то есть (23)·(1/2)=1/3 площади abc. этим мы доказали, что треугольники abg, bcg и cag равновелики. докажем теперь, что если для некоторой точки m, лежащей внутри треугольника, площади abm, bcm и cam равны, то m=g. если это не так, то точка m лежит внутри одного из треугольников abg, bcg, cag, или на одной из сторон ag, bg, cg. если точка m лежит внутри abm или на ag или на bg, площадь abm будет меньше площади abg, а тогда треугольники abm, bcm и cam не будут равновеликими. аналогично рассматриваются остальные случаи.

2) воспользуемся формулой пика, по которой площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги со стороной квадратов 1 равна

где n - количество узлов внутри многоугольника, m - число узлов на сторонах многоугольника и в его вершинах. в нашем случае n=1, m=3, поэтому площадь треугольника abc равна 1+3/2-1=3/2. по той же формуле площади треугольников abo, bco, cao равны 0+3/2-1=1/2, поэтому эти треугольники равновелики, а тогда по первому пункту o является точкой пересечения медиан.

мы предположили, что стороны клеток равны 1. если это не так, можно дополнительно рассмотреть клетчатую бумагу со стороной 1 и треугольник, подобный нашему, с вершинами в узлах новой решетки. для нового треугольника утверждение доказано, а тогда и для исходного утверждение также справедливо. другая возможность рассуждения состоит в введении новой единицы длины, равной стороне клетки. тогда формула пика оказывается справедлива и для такой бумаги.