Втреугольнике длины двух сторон равны 4 и 5, а длина биссектрисы угла между ними равна 20/9. найдите площадь этого треугольника.

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. пусть длины двух отрезков противоположной стороны - 5x и 4x угол, который делит биссектриса - β. тогда по теореме косинусов для двух дочерних треугольников (5x)²  = 5²  + (20/9)²  - 2*5*20/9*cos(β/2) (4x)²  = 4²  + (20/9)²  - 2*4*20/9*cos(β/2) умножим первое уравнение на 4, второе на 5 4*(5x)²  = 4*5²  + 4*(20/9)²  - 2*4*5*20/9*cos(β/2) 5*(4x)²  = 5*4²  + 5*(20/9)²  - 2*4*5*20/9*cos(β/2) вычтем из первого второе 4*(5x)²  - 5*(4x)² = 4*5²  + 4*(20/9)² - 5*4² - 5*(20/9)² 4*25x² - 5*16x² = 4*25 - 5*16 - 400/81 100x² - 80x² = 100 - 80 - 400/81 20x² = 20 - 400/81 сократим на 20 x² = 1 - 20/81 = (81 - 20)/81 = 61/81 x =  √61/9 (отрицательный корень отбросили) теперь вычислим угол (5x)²  = 5²  + (20/9)²  - 2*5*20/9*cos(β/2) 25*61/81  = 25 + 400/81 - 200/9*cos(β/2) умножим всё на 81 25*61 = 25*81 + 400 - 9*200*cos(β/2) 1800*cos(β/2) = 400 + 25*(81 - 61) 1800*cos(β/2) = 400 + 25*20  1800*cos(β/2)  = 900 cos(β/2) = 1/2 β/2 = arccos(1/2) = 60° β = 120° площадь s = 1/2*4*5*sin(β) = 10*sin(120°) = 5√3

  у ромба   диагонали   пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. расматриваем любой треугольник и находим  стороны ромба. ав=ад=2см. но диагональ вд=2см. значит треугольник авд-равносторонний. из вершины опустим высоту вн- она же и  медиана, а значит ан=дн=1см. по т. пифагора вн= √3.