Найти уравнение касательной в точке м( 1; 1/2) функции 0,5x^2 +4x

Найти уравнение касательной в точке м( 1; 1/2) функции 0,5x²   + 4x решение проверим не является ли точка м(1; 1/2) точкой касания.если точка м(1; 1/2) является точкой касания, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. подставим координаты  точки м(1; 1/2)  в уравнение функции у = 0,5x² + 4x.                         0,5 = 0,5·1² + 4·1                             0,5 ≠ 4,5 значит точка m(1; 1/2) не является точкой касания. уравнение касательной выглядит                       y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) значение функции в точке х₀ равно                             f(x₀)= 0,5x₀² + 4x₀ найдём  производную в точке x₀                       f'(x) = (0,5x² + 4x)' = x + 4                                                    f'(x₀) = x₀ + 4 подставим найденные выражения в формулу касательной                          0,5 = 0,5x₀² + 4x₀ + (x₀ + 4)(1 - x₀) решим это уравнение                       0,5x₀² + 4x₀ - x₀² - 3x₀ + 4 - 0,5 = 0                                                                    0,5x₀²+ x₀ + 3,5 = 0                                                                                                                    x₀²- 2x₀ - 7 = 0                                                            d = 2² - 4*(-7) = 4 + 28 = 32 первый корень уравнения                           x₀ = (2 - 4√2)/2 = 1 - 2√2 f(x₀) = 0,5(1-2√2)² + 4(1-2√2) = 0,5(1-4√2+8) + 4 - 8√2 =         =  4,5 - 2√2 + 4 - 8√2 = 8,5 - 10√2 f'(x₀) = 1 - 2√2 + 4 = 5 - 2√2 уравнение касательной в точке x₀ = 1 - 2√2  f(x₀) = 8,5 - 10√2            y = 8,5 - 10√2 + (5 - 2√2)(x - 1 + 2√2) = = 8,5 - 10√2 - 5 + 10√2 + 2√2 - 8 + (5-2√2)х = (5-2√2)х + 2√2 - 4,5 второй корень уравнения                                                      x₀=(2+4√2)/2 = 1 + 2√2 f(x₀) = 0,5(1 + 2√2)² + 4(1 + 2√2) = 0,5(1 + 4√2 + 8) + 4 + 8√2 =         = 4,5 + 2√2 + 4 + 8√2 = 8,5 + 10√2 f'(x₀) = 1 + 2√2 + 4 = 5 + 2√2 напишем уравнение касательной в точке x₀ = 1 + 2√2    f(x₀) =  8,5 + 10√2                          y = 8,5 + 10√2 + (5 + 2√2)(x - 1 - 2√2) = = 8,5 + 10√2 - 5 - 10√2 - 2√2 - 8 + (5 + 2√2)х = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2 получили два уравнения касательных удовлетворяющих условиям   ответ: y = (5 - 2√2)х + 2√2 - 4,5;   y = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2

Пошаговое объяснение: