vvndas1

01.10.2020 22:39

Геометрия

Есть ответ 👍

Свойства вписанного угла. формулировка и доказательство

165

314

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Данил9323

Геометрия

4,5(37 оценок)

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается . доказательство : пусть угол авс - вписанный угол окружности с центром о, опирающийся на душу ас. докажем, что угол аос =1/2 дуги ас.

olesay12345

Геометрия

4,4(52 оценок)

напомним некоторые определения

определение:

окружностью с центром в точке о и радиусом r называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки о на расстояние r (см. рис. 1).

рис. 1

часть окружности называется дугой.

дуга имеет угловое измерение.

градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла :

рассмотрим примеры:

рис. 2

определение

угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

рис. 3

задана окружность с центром о, вершина а лежит на окружности, стороны ав и ас угла пересекают окружность в точках в и с, угол называется вписанным. он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. рис. 3).

2. теорема о вписанном угле

вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. рис. 4).

рис. 4

доказательство:

рассмотрим несколько случаев.

случай 1: точка о принадлежит лучу ас (см. рис. 5).

рис. 5

доказать, что

обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ов и оа равны как радиусы окружности. угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

случай 2: точка о лежит внутри вписанного угла (см. рис. 6).

рис. 6

доказать, что

доказательство сводится к предыдущему случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). вся дуга равна:

угол в свою очередь, равен .

таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

случай 3: точка о находится вне вписанного угла (см. рис. 7).

рис. 7

доказать, что

доказательство снова сводится к первому случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). дуга является разностью большой дуги и дуги :

вписанный угол равен . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. и теперь из этого вытекают важные следствия.

3. следствия теоремы о вписанном угле

следствие 1:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. рис. 8).

рис. 8

угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

таким образом, получаем:

следствие 2

вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. рис. 9).

рис. 9

теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих .

4. теорема о хордах

произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

рис. 10

доказать, что

доказательство:

рассмотрим треугольники и (см. рис. 10). данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы и ; вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу . выпишем соотношение подобия:

применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.

serovv751

Геометрия

4,5(59 оценок)

ответ:ответ 49

Объяснение:

Реши свою проблему, спроси otvet5GPT

Быстро
Мгновенный ответ на твой вопрос
Точно
Бот обладает знаниями во всех сферах
Бесплатно
Задай вопрос и получи ответ бесплатно

Задай свой вопрос

Популярно: Геометрия

Есть вопросы?

Как otvet5GPT работает?

otvet5GPT использует большую языковую модель вместе с базой данных GPT для обеспечения высококачественных образовательных результатов. otvet5GPT действует как доступный академический ресурс вне класса.
Сколько это стоит?

Проект находиться на стадии тестирования и все услуги бесплатны.
Могу ли я использовать otvet5GPT в школе?

Конечно! Нейросеть может помочь вам делать конспекты лекций, придумывать идеи в классе и многое другое!
В чем отличия от ChatGPT?

otvet5GPT черпает академические источники из собственной базы данных и предназначен специально для студентов. otvet5GPT также адаптируется к вашему стилю письма, предоставляя ряд образовательных инструментов, предназначенных для улучшения обучения.