Авсd–выпуклый четырёхугольник, в котором cad+ bca= 180, и ав = вс + ad. доказать, что caв + dca=сda.

Два способа  1) пусть bc и ad пересекаются в точке  t, тогда tca - равнобедренный (cad+bca=180) .      продлив за точку c , отрезок равный cd'=ad получаем tdd' - равнобедренный  tdd'=bca , значит  cdd'a  вписанный , откуда bd'a = cda , так как acd = cad' откуда bad' = cab+dca = bd'a=cda (так как  ab=db') то есть  cab+dca=cda      2) положим что  bca=x, cab=n , dca=m , тогда    bc=ab*sin(n)/sinx      ad=ab*sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m))      так как bc+ad=ab откуда    sin(n)/sinx + sin(n+x)*sin(m)/(sinx*sin(x-m))  = 1      sin(m+n) = sin(x-m)    m+n=x-m    x=2m+n    то есть bca=2dca+cab и так как    cda=bca-dca      откуда cda=dca+cab

Сначала доказываем подобие треугольников всн и асн (по двум углам). это очевидно, поскольку угол анс и угол внс будут прямыми, а угол асн = углу нвс (из треугольника авс угол нвс = 90 - угол сав, из треугольника асн следует, что угол асн = 90 - угол сав (он же угол так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). поэтому коэффициент подобия треугольников асн и всн равен 1/3. из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: ан/сн = сн/вн = ас/вс = 1/3 нас интересует последнее соотношение, нам катеты исходного прямоугольного треугольника авс. пусть ас = х, то вс = 3х, и по т. пифагора имеем: х² + 9х² = (2√5)² 10х² = 20 х =  √2 ас =  √2, вс = 3√2 площадь треугольника авс равна половине произведения катетов: 1/2×√2×3√2 = 3 ответ: 3