За сколько времени земля упадет на солнце, если перестанет вращаться вокруг него?

(−gм/r) + v2/2 = −gm / ro,

где  м  — масса солнца,  ro  — начальное расстояние (радиус орбиты земли),  r  — текущее расстояние,  g  — гравитационная постоянная,  v (r)  — скорость земли.

можно получить скорость, но не как функцию времени, а как функцию расстояния до солнца. причем скорость отрицательна, потому что мы ее здесь рассматриваем как производную расстояния по времени, а это расстояние с течением времени сокращается. поэтому нужно взять отрицательный квадратный корень. выражение имеет вид  dr / dt = f (r). его нужно записать чуть иначе, в виде  dr / f(r) = dt. потом проинтегрировать левую часть по  rот  ro  и до нуля. а правая часть после интегрирования — это просто время  t, которое мы ищем. оно равно тому что получится в левой части. интегрируем и получаем время. интеграл несложный, есть в таблицах и онлайн тоже. время удобно выразить через "нормальный" период вращения земли  t, получаем  t = t / (4√2).

это хорошо согласуется также и с третьим законом кеплера, которым здесь предлагают воспользоваться. действительно, малая полуось эллипса падает до нуля, а большая уменьшается в два раза. потому что большая ось целиком равна теперь радиусу земной орбиты, а полуось — половине этого радиуса. ну а по закону кеплера, если радиус падает в два раза, то период — в  2√2. для падения нужна только половина периода, поэтому "время падения" на солнце в  4√2  раз меньше периода вращения земли. приблизительно  65 дней.